Question

12．已知函数f（x）=x+$\sqrt{1+2x}$．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的单调性并证明．

Answer 1

分析 （1）定义域容易求出为[-$\frac{1}{2}$，+∞）；
（2）可看出x增大时，f（x）增大，从而判断出f（x）在$[-\frac{1}{2}，+∞）$上单调递增，根据增函数的定义，设任意的${x}_{1}＞{x}_{2}≥-\frac{1}{2}$，然后作差，分子有理化，提取公因式x₁-x₂，从而证明f（x₁）＞f（x₂）便可得出f（x）的单调性．

解答 解：（1）要使f（x）有意义，则1+2x≥0；
∴$x≥-\frac{1}{2}$；
∴f（x）的定义域为[$-\frac{1}{2}$，+∞）；
（2）x增大时，f（x）增大，∴f（x）在$[-\frac{1}{2}，+∞）$上单调递增，证明如下：
$设{x}_{1}＞{x}_{2}≥-\frac{1}{2}$，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}+\sqrt{1+2{x}_{1}}-{x}_{2}-\sqrt{1+2{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）+\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{\sqrt{1+2{x}_{1}}+\sqrt{1+2{x}_{2}}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1+\frac{2}{\sqrt{1+2{x}_{1}}+\sqrt{1+2{x}_{2}}}）$；
∵${x}_{1}＞{x}_{2}≥-\frac{1}{2}$；
∴x₁-x₂＞0，$1+\frac{2}{\sqrt{1+2{x}_{1}}+\sqrt{1+2{x}_{2}}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在$[-\frac{1}{2}，+∞）$上单调递增．

点评 考查函数定义域的概念及求法，函数单调性的定义，根据单调性定义判断并证明一个函数的单调性的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），分子有理化的运用，作差后一般要提取公因式x₁-x₂．