Question

【题目】将方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为（ ）

A.33B.56C.64D.78

Answer 1

【答案】B

【解析】

记分隔边的条数为,首先将方格表按图分成三个区域,, 分别染成三种颜色, 粗线上均为分隔边，将方格表的行从上至下依次记为，列从左至右依次记为，行中方格出现的颜色为，列中方格出现的颜色为，三种颜色分别记为，对于一种颜色，设为含色方格的行数与列数之和，定义当行含色方格时，，否则，类似的定义，计算得到，再证明，再证明对任意均有，，最后求出分隔边条数的最小值.

记分隔边的条数为，首先将方格表按图分成三个区域，如图：

分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，则，

其次证明：，

将方格表的行从上至下依次记为，列从左至右依次记为，

行中方格出现的颜色为，列中方格出现的颜色为，

三种颜色分别记为，对于一种颜色，设为含色方格的行数与列数之和，

定义当行含色方格时，，否则，

类似的定义，

所以

，

由于染色的格的行有个，列有个，则色的方格一定在这行和列的交叉方格中，从而，

所以所以①，

由于在行中有种颜色的方格，于是至少有条分隔边，

类似地，在列中至少有条分隔边，

则

②

③，

下面分两种情况讨论：

1、有一行或一列所有方格同色，不妨设为色，则方格表的33列中均含有色的方格，又色的方格有363个，

故至少有行含有色的方格，于是④，

由①③④得；

2、没有一行也没有一列所有方格同色，对任意均有，，

从而由②可得；

综上所述，分隔边条数的最小值为56.

故选：B