Question

（2009•闵行区二模）（文）本题共有3个小题，第1、2小题满分各5分，第3小题满分7分．第3小题根据不同思维层次表现予以不同评分．
对于数列{a_n}
（1）当{a_n}满足a_n+1-a_n=d（常数）且

an+1

an

=q（常数），证明：{a_n}为非零常数列．
（2）当{a_n}满足a_n+1²-a_n²=d'（常数）且

a 2 n+1

a 2 n

=q′（常数），判断{a_n}是否为非零常数列，并说明理由．
（3）对（1）、（2）等式中的指数进行推广，写出推广后的一个正确结论（不用说明理由）．

Answer 1

分析：（1）由已知，结合等差数列、等比数列的通项公式，建立q，d的关系，
（法一）证出d=0，，并说明项不为0即可．
（法二）证出q=1，并说明项不为0即可
（2）由（1）证明的结论知：{a_n²}为非零常数列，可举反例说明{a_n}是否为非零常数列
（3）指数由1，2进行推广到一般 时，由（1）代表了指数为奇数、且命题为真命题的情形，（2）代表了指数为偶数，且命题为真命题的情形 的情形，可据这两式写出正确的结论．

解答：解：（1）（法一）

an+1-an=d an+1 an =q

⇒qa_n-a_n=d⇒（q-1）a_n=d
当q=1时，∵a_n≠0，所以d=0；
当q≠1时，⇒an=

d

q-1

是一常数，矛盾，所以{a_n}为非零常数列； （5分）
（法二）设a_n=a₁+（n-1）d，则有：

an+1

an

=

a1+(n+1-1)d

a1+(n-1)d

=q，
即a₁+nd=（a₁q-qd）+qdn（2分）
所以

d=qd a1=qa1-qd

，解得

d=0 q=1

．由此可知数列{a_n}为非零常数列； （5分）
（2）记a_n²=b_n，由（1）证明的结论知：{a_n²}为非零常数列．（2分）
显然，{a_n²}为非零常数列时，{a_n}不一定为非零常数列，如：非常数数列a_n=（-p）ⁿ（p为大于0的正常数）和常数列a_n=p（p为非零常数）均满足题意要求．（5分）
（3）若{a_n}满足a_n+1^m-a_n^m=d'（常数）且

a m n+1

a m n

=q′（常数），则当m为奇数时，{a_n}必为非零常数列；当m为偶数时，{a_n}不一定为非零常数列．
或者：设a_n^m=a₁^m+（n-1）d，即a_n^m=A+Bn，则

a m n+1

a m n

=(

A+(n+1)B

A+nB

)m=q′，即(1+

B

A+Bn

)m对一切n∈N^*均为常数，则必有B=0，即有a_n^m=A，当m为奇数时，an=

m	A

，当m为偶数时，an=

m	A

(A＞0)或者an=

m	(-A)

 i (A＜0).3°{a_n}满足a_n+1^m-a_n^m=d'（常数）且

a l n+1

a l n

=q′（常数），且m、l为整数，
当m、l均为奇数时，{a_n}必为非零常数列；否则{a_n}不一定为常数列．
事实上，条件

a l n+1

a l n

=q′（正常数）可以转化为

a m n+1

a m n

=(q′)

m

l

（常数），整个问题转化为2°，结论显然成立．（结论5分）
或者：设a_n^m=a₁^m+（n-1）d，即a_n^m=A+Bn，当m为奇数时，有an=

m	A+Bn

，则

a l n+1

a l n

=(

A+(n+1)B

A+nB

)

l

m

=q′，即(1+

B

A+Bn

)

l

m

对一切n∈N^*均为常数，则必有B=0，即有a_n^m=A，则an=

m	A

，当m为偶数时，如反例：a_n=（-1）ⁿn∈N^*，它既满足m次方后是等差数列，又是l（不管l为奇数还是偶数）次方后成等比数列，但它不为常数列.4°{a_n}满足a_n+1^m-a_n^m=d'（常数）且

a l n+1

a l n

=q′（常数），m、l为有理数，q′＞0，则{a_n}必为非零常数列；否则{a_n}不一定为常数列．
证明过程同3°（结论6分）5°{a_n}满足a_n+1^m-a_n^m=d'（常数）且

a l n+1

a l n

=q′（常数），且m、l为实数，q′＞0，{a_n}是不等于1的正数数列，则{a_n}必为非零且不等于1的常数列；否则{a_n}不一定为常数列．
事实上，当q′＞0，m、l为实数时，条件

a l n+1

a l n

=q′同样可以转化为

a m n+1

a m n

=(q′)

m

l

，记a_n^m=b_n，由第（1）题的结论知：{b_n}必为不等于1的正常数数列，也即{a_n^m}为不等于1的正常数数列，an=

m	bn

，从而{a_n}也是不等于1的正常数数列．
（结论7分）

点评：本题考查归纳推理，借用了数列的形式．用到了等差、等比数列的定义、判断，有理数指数幂的运算法则等知识．