Question

从小到大排列的三个数构成等比数列，它们的积为8，并且这三个数分别加上2、2、1后成等差数列{a_n}中的a₃、a₄、a₅．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=

an+1

an

+

an

an+1

，数列{b_n}的前项和为T_n，求T_n．

Answer 1

（Ⅰ）设小到大排列的三个数分别为

a

q

，a，aq，则

a

q

?a?aq=a3=8，解得a=2．所以这三个数为

2

q

，2，2q．这三个数分别加上2、2、1后为

2

q

+2，4，2q+1，即a3=

2

q

+2，a4=4，a5=2q+1，
又a₃、a₄、a₅为等差数列，所以a₃+a₅=2a₄，即

2

q

+2+2q+1=2×4=8，即2q²-5q+2=0．解得q=2或q=

1

2

．
因为三个数是从小到大成等比数列，所以q=

1

2

不成立，舍去，所以q=2．
所以三个数为，1，2，4．即a₃=3，a₄=4，a₅=5．
所以公差d=1，所以数列{a_n}的通项公式为an=a3+(n-3)=n，n∈N•．
（Ⅱ）因为bn=

an+1

an

+

an

an+1

=

n+1

n

+

n

n+1

=2+

1

n

-

1

n+1

，
所以Tn=(2+1-

1

2

)+(2+

1

2

-

1

3

)+…+(2+

1

n

-

1

n+1

)
=2n+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=2n+1-

1

n+1

=2n+

n

n+1

．
即数列{b_n}的前项和为Tn=2n+

n

n+1

，n∈N•．