Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长为2

2

，侧棱长为4．E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G．
（Ⅰ）求证：平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）求点D₁到平面B₁EF的距离d；
（Ⅲ）求三棱锥B₁-EFD₁的体积V．

Answer 1

分析：（1）方法一：欲证明平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁，先证直线与平面垂直，观察平面BDD₁B₁为正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角面，所以AC⊥平面BDD₁B₁，故连接AC，由EF∥AC，可得EF⊥平面BDD₁B₁
方法二：欲证明平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁，先证直线与平面垂直，由题意易得EF⊥BD，又EF⊥D₁D，所以EF⊥平面BDD₁B₁

（2）本题的设问是递进式的，第（1）问是为第（2）问作铺垫的．由第（1）问可知，点D₁到平面B₁EF的距离d即为点D₁到平面B₁EF与平面BDD₁B₁的交线B₁G的距离，故作D₁H⊥B₁G，垂足为H，所以点D₁到平面B₁EF的距离d=D₁H．下面求D₁H的长度．
解法一：在矩形BDD₁B₁及Rt△D₁HB₁中，利用三角函数可解．
解法二：在矩形BDD₁B₁及Rt△D₁HB₁中，利用三角形相似可解．
解法三：在矩形BDD₁B₁及△D₁GB₁中，观察面积大小关系可解．

（3）本题的设问是递进式的，第（2）问是为第（3）问作铺垫的．解决三棱锥求体积的问题，关键在于找到合适的高与对应的底面，由第（2）问可知，D₁H即为三棱锥B₁-EFD₁的高，所以B₁EF为对应的底面．

解答：解：（Ⅰ）证法一：
连接AC．
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是正方形，
∴AC⊥BD，又AC⊥D₁D，故AC⊥平面BDD₁B₁．
∵E，F分别为AB，BC的中点，故EF∥AC，
∴EF⊥平面BDD₁B₁，
∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁．

证法二：
∵BE=BF，∠EBD=∠FBD=45°，
∴EF⊥BD．又EF⊥D₁D
∴EF⊥平面BDD₁B₁，
∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁．

（Ⅱ）在对角面BDD₁B₁中，
作D₁H⊥B₁G，垂足为H．
∵平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁，
且平面B₁EF∩平面BDD₁B₁=B₁G，
∴D₁H⊥平面B₁EF，且垂足为H，
∴点D₁到平面B₁EF的距离d=D₁H．
解法一：
在Rt△D₁HB₁中，D₁H=D₁B₁•sin∠D₁B₁H．
∵D1B1=

2

A1B1=

2

•2

2

=4，
sin∠D1B1H=sin∠B1GB=

B1B

GB1

=

4

42+12

=

4

17

，
∴d=D1H=4•

4

17

=

16 17

17

.

解法二：
∵△D₁HB₁～△B₁BG，
∴

D1H

B1B

=

D1B1

B1G

，
∴d=D1H=

B1B2

B1G

=

42

42+12

=

16 17

17

.

解法三：
连接D₁G，则三角形D₁GB₁的面积等于正方形DBB₁D₁面积的一半，
即

1

2

•B1G•D1H=

1

2

B1B2，
∴d=D1H=

B1B2

B1G

=

16 17

17

.
（Ⅲ）V=VB1-EFD1=VD1-B1EF=

1

3

•d•S△B1EF
=

1

3

•

16

17

•

1

2

•2•

17

=

16

3

.

点评：本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．