Question

已知，圆C：x²+y²-8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．
（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；
（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2

2

时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径r，
（1）当直线l与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）联立圆C和直线l的方程，消去y后，得到关于x的一元二次方程，然后利用韦达定理表示出AB的长度，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．

解答：解：将圆C的方程x²+y²-8y+12=0配方得标准方程为x²+（y-4）²=4，
则此圆的圆心为（0，4），半径为2．
（1）若直线l与圆C相切，则有

|4+2a|

a2+1

=2．解得a=-

3

4

．
（2）联立方程

ax+y+2a=0 x2+y2-8y+12=0

并消去y，
得（a²+1）x²+4（a²+2）x+4（a²+4a+3）=0．
设此方程的两根分别为x₁、x₂，
所以x₁+x₂=-

4(a2+2)

a2+1

，x₁x₂=

4(a2+4a+3)

a2+1

则AB=

( x1-x2)  2+(y1-y2) 2

=

(a2+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

=2

2

两边平方并代入解得：a=-7或a=-1，
∴直线l的方程是7x-y+14=0和x-y+2=0．

点评：此题考查学生掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，灵活运用韦达定理及两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．