Question

已知：f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意a、b∈R，满足：f（a•b）=af（b）+bf（a），且，则数列{a_n}的通项公式a_n=________．

Answer 1

分析：令a=2^-n，b=2，得f（2^-n+1）=2^-nf（2）+2f（2^-n），设A_n=f（2^-n），可得A_n-1=2^-n-1+2A_n，从而可知数列{ }是以-1为，-1为首项的等差数列，故可求数列{A_n}的通项公式，从而得出数列{a_n}的通项公式．
解答：令a=1，b=1，得f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0，
令a=2，b=，得f（1）=2f（）+f（2），且f（2）=2，∴f（）=-，
令a=2^-n，b=2，得f（2^-n+1）=2^-nf（2）+2f（2^-n）
设A_n=f（2^-n）
∴A_n-1=2^-n-1+2A_n，
∴=1+，即 -=-1，且 ==-1
即数列{ }是以-1为，-1为首项的等差数列
∴=-n，
∴A_n=-n•2^-n
∴．
故答案为：．
点评：本题考查数列的函数特性、等差数列的定义，涉及抽象函数的应用，属中档题．