Question

设a、b、c都是整数，过圆x²+y²=（3a+1）²外一点P（b³-b，c³-c）向圆引两条切线，试证明：过这两切点的直线上的任意一点都不是格点（所谓格点是指：横、纵坐标都是整数的点）．

Answer 1

分析：由P和原点O的坐标，利用中点坐标公式求出线段OP的中点坐标，再利用两点间的距离公式求出此中点到原点的距离，得到以OP为直径的圆的圆心坐标和半径，写出以OP为直径的圆的方程，记作（1），把已知圆x²+y²=（3a+1）²代入（1），整理后得到（b³-b）x+（c³-c）y=（3a+1）²，即为过P作的两条切线的方程，假设此切线方程有格点，把b³-b及c³-c弦利用提取公因式的方法分解因式，再利用平方差公式分解因式后，得到两式都为三个连续数的乘积，显然能被3整除，可得（3a+1）²能被3整除，即3a+1能被3整除，而3a+1不能被3整除，矛盾，假设错误，故过这两切点的直线上的任意一点都不是格点，得证．

解答：解：∵P（b³-b，c³-c），O（0，0），
∴线段OP的中点的坐标为（

1

2

（b³-b），

1

2

（c³-c）），
∴以OP为直径的圆的方程为：[x-

1

2

（b³-b）]²+[y-

1

2

（c³-c）]²=

1

4

（b³-b）²+

1

4

（c³-c）²，（1）
将x²+y²=（3a+1）²代入（1）得：（b³-b）x+（c³-c）y=（3a+1）²，它就是过两切点的直线方程，
假设此切线方程存在格点，
由b³-b=b（b-1）（b+1），得到它为三个连续数的乘积，显然能被3整除，
同理，c³-c亦能被3整除，
∴（3a+1）²能被3整除，
∴3a+1也必须能被3整除，
显然这是不可能的，
则过这两切点的直线上的任意一点都不是格点．

点评：此题考查了圆的切线方程，圆的标准方程，以及反证法的运用，是一道证明题．其中根据题意表示出过圆x²+y²=（3a+1）²外一点P（b³-b，c³-c）向圆引两条切线方程是解本题的关键．