Question

（2013•浙江模拟）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知C=

π

3

．
（Ⅰ）若a=2，b=3，求△ABC的外接圆的面积；
（Ⅱ）若c=2，sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a=2，b=3，C=

π

3

，由余弦定理可求得c，再利用正弦定理可求得△ABC的外接圆的半径，从而可求△ABC的外接圆的面积；
（Ⅱ）利用三角函数间的关系将条件转化为：sinBcosA=2sinAcosA，对cosA分cosA=0与cosA≠0讨论，再分别借助正弦定理，通过解方程组与再由三角形的面积公式即可求得△ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）∵a=2，b=3，C=

π

3

，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC
=4+9-2×2×3×

1

2

=7，
∴c=

7

，设其外接圆半径为R，则2R=

c

sinC

，故R=

21

3

，
∴△ABC的外接圆的面积S=πR²=

7π

3

；
（Ⅱ）∵sinC+sin（B-A）=sin（B+A）+sin（B-A）=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosA，
∴sinBcosA=2sinAcosA
当cosA=0时，∠A=

π

2

，∠B=

π

6

，a=

4 3

3

，b=

2 3

3

，可得S=

2 3

3

；
当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a…①，
∵c=2，∠C=60°，c²=a²+b²-2abcosC
∴a²+b²-ab=4…②，
联立①①解得a=

2 3

3

，b=

4 3

3

，
∴△ABC的面积S=

1

2

absinC=

1

2

absin60°=

2 3

3

．
综上可知△ABC的面积为

2 3

3

．

点评：本题考查余弦定理与正弦定理，考查转化与方程思想的综合运用，考查综合分析与运算能力，属于难题．