Question

【题目】某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形.

（1）求出，，，并猜测的表达式；

（2）求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）先通过前4个图形的变化规律得到出，，，，再利用累加法推导的表达式；（2）先化简，再利用裂项抵消法进行求和，再利用放缩法进行证明.

(1)∵ f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，

∴ f(5)＝25＋4×4＝41.

∵ f(2)－f(1)＝4＝4×1，

f(3)－f(2)＝8＝4×2，

f(4)－f(3)＝12＝4×3，

f(5)－f(4)＝16＝4×4，

由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.

∴ f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，

f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，

f(n－2)－f(n－3)＝4·(n－3)，

… …

f(2)－f(1)＝4×1，

∴ f(n)－f(1)＝4×[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＝2(n－1)·n，

∴ f(n)＝2n2－2n＋1(n≥2)，

又n＝1时，f(1)也适合f(n)．

∴ f(n)＝2n2－2n＋1

(2)当n≥2时，＝＝，

∴

=1＋

=1＋＝－

∴＋＋＋…＋ ．