【题目】如图,在矩形
中,
,
为
的中点,
为
的中点.将
沿
折起到
,使得平面
平面
(如图
).
图1 图2
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的正弦值;
(Ⅲ)在线段上是否存在点
,使得
平面
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) ;(Ⅲ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据等腰三角形的性质可得,由平面
平面
可得
平面
,从而可得
;(Ⅱ)取
中点为
,连结
,由矩形
性质,
,可知
,由(Ⅰ)可知,
,以
为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴建立坐标系,求出平面
的一个法向量及直线
的方向向量,利用空间向量夹角余弦公式可得结果;(Ⅲ)假设在线段
上存在点
,满足
平面
,设
,利用直线与平面的法向量垂直,数量积为零,列方程求解即可.
.
试题解析:(Ⅰ)如图,在矩形中,
,
为
中点,
,
为
的中点,
由题意可知, ,
平面平面
图1 图2
平面
平面
,
平面
,
平面
,
平面
,
,
(Ⅱ)取中点为
,连结
,
由矩形性质,
,可知
,
由(Ⅰ)可知, ,
以为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴建立坐标系,
在中,由
,则
,
所以
,
,
设平面的一个法向量为
,
则,
令
,则
,
所以,
设直线与平面
所成角为
,
,
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
(Ⅲ)假设在线段上存在点
,满足
平面
设,
由,,所以
,
,
,
若平面
,则
,
所以,解得
,
所以.
【方法点晴】本题主要考查面面垂直的性质以及利用空间向量求线面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(2017·全国Ⅱ卷)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.
(1)证明:直线CE∥平面PAB;
(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”,其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵横两种形式,(如图所示),表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位、百位、万位数用纵式表示,十位、千位、十万位用横式表示,以此类推.例如8455用算筹表示就是,则以下用算筹表示的四位数正确的为( )
A. B.
C. D.
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【题目】随着国家二孩政策的全面放开,为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿,某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女,结果如下表.
非一线城市 | 一线城市 | 总计 | |
愿生 | 45 | 20 | 65 |
不愿生 | 13 | 22 | 35 |
总计 | 58 | 42 | 100 |
附表:
由算得,
,
参照附表,得到的正确结论是
A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“生育意愿与城市级别有关”
B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“生育意愿与城市级别无关”
C. 有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
D. 有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”
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【题目】某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第个图形包含
个小正方形.
(1)求出,
,
,
并猜测
的表达式;
(2)求证:.
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【题目】一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用,从孩子一周岁生日开始,每年到银行储蓄元一年定期,若年利率为
保持不变,且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期,当孩子18岁生日时不再存入,将所有存款(含利息)全部取回,则取回的钱的总数为
A.B.
C.D.
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【题目】已知平面内的定点到定直线
的距离等于
,动圆
过点
且与直线
相切,记圆心
的轨迹为曲线
.在曲线
上任取一点
,过
作
的垂线,垂足为
.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)记点到直线
的距离为
,且
,求
的取值范围;
(3)判断的平分线所在的直线与曲线的交点个数,并说明理由.
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