【题目】已知函数,曲线
在点
处的切线为
.
()若直线
的斜率为
,求函数
的单调区间.
()若函数
是区间
上的单调函数,求
的取值范围.
【答案】(1)单调增区间为和
,单调减区间为
;(2)
或
【解析】试题分析:(1)求得的导数,可得切线的斜率,由条件可得
,由导数大于0,可得增区间,由导数小于0,可得减区间;(2)由题意可得当函数在
递增(或递减),即有
或
)对
成立,只要
在
上的最小值(或最大值)大于等于0即可.求出二次函数的对称轴,讨论区间
和对称轴的关系,求得最小值(或最大值),解不等式即可得到所求范围.
试题解析:()由
得
,
若曲线在点
处的切线
的斜率为
,
则,
∴,
,
令,得
或
;
令,得
,
∴函数的单调增区间为
和
,单调减区间为
.
()①当函数
在区间
上单调递减时,
对
成立,
即对
成立,
根据二次函数的性质,只需要,
解得,
又,所以
;
②当函数在区间
上单调递增时,
对
成立,
只需在
上的最小值大于等于
即可,
函数的对称轴为
,
当时,
在
上的最小值为
,
∴,解得
或
,
此种情形不成立;
当时,
在
上的最小值为
,
∴,解得
;
综上所述,实数的取值范围是
或
.
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【题目】某公司想了解对某产品投入的宣传费用与该产品的营业额的影响.下面是以往公司对该产品的宣传费用 (单位:万元)和产品营业额
(单位:万元)的统计折线图.
(Ⅰ)根据折线图可以判断,可用线性回归模型拟合宣传费用与产品营业额
的关系,请用相关系数加以说明;
(Ⅱ)建立产品营业额关于宣传费用
的归方程;
(Ⅲ)若某段时间内产品利润与宣传费
和营业额
的关系为
,应投入宣传费多少万元才能使利润最大,并求最大利润.
参考数据: ,
,
,
,
参考公式:相关系数, ,
回归方程中斜率和截距的最小二乘佔计公式分别为
,
.(计算结果保留两位小数)
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【题目】我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行调查,通过抽样,获得某年100为居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图的的值;
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,说明理由.
(3)估计居民月用水量的中位数.
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【题目】某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管,随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照,
,
,
分成5组,制成如图所示频率分直方图.
(1)求图中x的值;
(2)求这组数据的平均数和中位数;
(3)已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为
,若在满意度评分值为
的人中随机抽取2人进行座谈,求2人均为男生的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知,
,圆
上的动点T满足:线段TQ的垂直平分线与线段TP相交于点K.
Ⅰ
求点K的轨迹C的方程;
Ⅱ
经过点
的斜率之积为
的两条直线,分别与曲线C相交于M,N两点,试判断直线MN是否经过定点
若是,则求出定点坐标;若否,则说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在矩形
中,
,
为
的中点,
为
的中点.将
沿
折起到
,使得平面
平面
(如图
).
图1 图2
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的正弦值;
(Ⅲ)在线段上是否存在点
,使得
平面
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】一个袋中有个大小之地都相同的小球,其中红球
个,白球
个,黑球
个,现从袋中有放回的取球,每次随机取一个,连续取两次.
(1)设表示先后两次所取到的球,试写出所有可能抽取结果;
(2)求连续两次都取到白球的概率;
(3)若取到红球记分,取到白球记
分,取到黑球记
分,求连续两次球所得总分数大于
分的概率.
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