【题目】设函数.
(1)若函数是R上的单调增函数,求实数a的取值范围;
(2)设,
是
的导函数.
①若对任意的,求证:存在
使
;
②若,求证:
.
【答案】(1) ;(2)①.证明见解析;②.证明见解析.
【解析】试题分析:(1)由题意, 对
恒成立,根据
,等价为
对
恒成立,即可求得
得取值范围;(2)①分别求得
与
,若
,则存在
,使
,从而得
,取
,则
,即可证明
;②不妨设
,令
,则
,由(1)知函数
单调递增,则
,从而
,根据
,推出
,只需证明
成立,即只需证明
成立,设
,求得函数
的单调性,即可证明.
试题解析:(1)由题意, 对
恒成立.
∵
∴对
恒成立,
∵
∴,从而
.
(2)①,则
.
若,则存在
,使
,不合题意.
∴.
取,则
.
此时.
∴存在,使
.
②依题意,不妨设,令
,则
.
由(1)知函数单调递增,则
,从而
.
∵
∴
∴.
∴.
下面证明,即证明
,只要证明
.
设,则
在
恒成立.
∴在
单调递减,故
,从而
得证.
∴,即
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中,某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了做到精准帮扶,工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查,并把调查结果转化为各户的贫困指标和
,制成下图,其中“
”表示甲村贫困户,“
”表示乙村贫困户.
若,则认定该户为“绝对贫困户”,若
,则认定该户为“相对贫困户”,若
,则认定该户为“低收入户”;
若,则认定该户为“今年能脱贫户”,否则为“今年不能脱贫户”.
(1)从甲村50户中随机选出一户,求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率;
(2)若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户,用表示所选3户中乙村的户数,求
的分布列和数学期望
;
(3)试比较这100户中,甲、乙两村指标的方差的大小(只需写出结论).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校高二奥赛班N名学生的物理测评成绩(满分120分)分布直方图如下,已知分数在100~110的学生数有21人。
(Ⅰ)求总人数N和分数在110~115分的人数n;
(Ⅱ)现准备从分数在110~115分的n名学生(女生占)中任选2人,求其中恰好含有一名女生的概率;
(Ⅲ)为了分析某个学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议,对他前7次考试的数学成绩x(满分150分),物理成绩y进行分析,下面是该生7次考试的成绩。
数学 | 88 | 83 | 117 | 92 | 108 | 100 | 112 |
物理 | 94 | 91 | 108 | 96 | 104 | 101 | 106 |
已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的,若该生的数学成绩达到130分,请你估计他的物理成绩大约是多少?
附:对于一组数据其回归线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】阅读如图所示的程序框图,解答下列问题:
(1)求输入的的值分别为
时,输出的
的值;
(2)根据程序框图,写出函数(
)的解析式;并求当关于
的方程
有三个互不相等的实数解时,实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在校体育运动会中,甲乙丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场),共赛三场,每场比赛胜者得3分,负者得0分,没有平局.在每场比赛中,甲胜乙的概率为甲胜丙的概率为
乙胜丙的概率为
(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率;
(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率.
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【题目】某建筑公司打算在一处工地修建一座简易储物间.该储物间室内地面呈矩形形状,面积为,并且一面紧靠工地现有围墙,另三面用高度一定的矩形彩钢板围成,顶部用防雨布遮盖,其平面图如图所示.已知该型号彩钢板价格为100元/米,整理地面及防雨布总费用为500元,不受地形限制,不考虑彩钢板的厚度,记与墙面平行的彩钢板的长度为
米.
(1)用表示修建储物间的总造价
(单位:元);
(2)如何设计该储物间,可使总造价最低?最低总造价为多少元?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(2017·全国Ⅱ卷)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.
(1)证明:直线CE∥平面PAB;
(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.
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