Question

3．数列{a_n}为等比数列的一个必要不充分条件是（　　）

• A． a_ma_n=q^m+n（m，n∈N^*，q≠0）
• B． $\frac{{a}_{1}}{{a}_{n-1}}$=q（n≥2且n∈N^*）
• C． a_n+1=a_n•q（n∈N^*）
• D． a_n+1=3S_n（n∈N^*）

Answer 1

分析 利用数列{a_n}为等比数列可知a_ma_n=${{a}_{1}}^{2}{q}^{m+n-2}$，故A不正确；通过$\frac{{a}_{1}}{{a}_{n-1}}$=q^2-n可知故B不正确；通过S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$、a_n+1=${a}_{1}{q}^{n}$可知D不正确．

解答 解：依题意，数列{a_n}为等比数列，
∴a_ma_n=${{a}_{1}}^{2}{q}^{m+n-2}$，
∵$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{{q}^{2}}$不一定为1，
∴A不正确；
∵$\frac{{a}_{1}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{1}}{{a}_{1}{q}^{n-2}}$=q^2-n，且q^2-n不一定为q，
∴B不正确；
∵$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=q，
∴a_n+1=a_nq，故C正确；
∵S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，a_n+1=${a}_{1}{q}^{n}$，
∴a_n+1与3S_n（n∈N^*）不一定相等，
∴D不正确；
故选：C．

点评 本题考查等比数列的性质，注意解题方法的积累，属于基础题．