Question

9．每年暑假期间，安徽卫视播出的《男生女生向前冲》闯关节目都非常火，如果单人通过所有关卡达到终点，则可获得一台空调，今年高考结束够，高三某班学生为了放松一下，挑选了3名男生．3名女生组成男生队与女生队两个队伍参加这档节目，3名男生能成功到达终点的概率分别为$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{6}$．3名女生体质差不多，每位女生能成功到达终点得概率均为$\frac{1}{5}$（男生和女生之间没有影响）
（1）求男生队没有获得空调且女生队获得3台空调的概率；
（2）设男生队获得空调的台数为ξ，求ξ的分布列与数学期望；
（3）若以获得的空调台数定输赢，求女生队不输给男生队的概率．

Answer 1

分析 （1）男生队没有获得空调且女生队获得三台空调，是指三名男生都没有到达终点，三名女生都成功到达终点，由此能求出男生队没有获得空调且女生队获得三台空调的概率．
（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列与数学期望．
（3）先计算男生队获胜的概率，进而根据对立事件概率减法公式，得到答案．

解答 解：（1）∵男生队没有获得空调且女生队获得三台空调，
∴三名男生都没有到达终点，三名女生都成功到达终点，
∴男生队没有获得空调且女生队获得三台空调的概率：
p=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{5}$）（1-$\frac{1}{6}$）×（$\frac{1}{5}$）³=$\frac{1}{250}$．
（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{5}$）（1-$\frac{1}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
P（ξ=1）=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{5}$）（1-$\frac{1}{6}$）+$\frac{1}{5}$（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{6}$）+$\frac{1}{6}$（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{5}$）=$\frac{47}{120}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{5}$（1-$\frac{1}{6}$）+$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{5}$）×$\frac{1}{6}$+（1-$\frac{1}{4}$）×$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{10}$，
P（ξ=3）=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{120}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{47}{120}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{120}$

Eξ=0×$\frac{1}{2}$+1×$\frac{47}{120}$+2×$\frac{1}{10}$+3×$\frac{1}{120}$=$\frac{37}{60}$，
（3）女生队获得空调的台数∫的可能值也为0，1，2，3，
P（∫=1）=（1-$\frac{1}{5}$）³=$\frac{64}{125}$，
P（∫=1）=${C}_{3}^{1}$•$\frac{1}{5}$（1-$\frac{1}{5}$）²=$\frac{48}{125}$，
P（∫=2）=${C}_{3}^{2}$•（$\frac{1}{5}$）²（1-$\frac{1}{5}$）=$\frac{12}{125}$，
则男生队获胜的概率为：$\frac{47}{120}$×$\frac{64}{125}$+$\frac{1}{10}$×（$\frac{64}{125}$+$\frac{48}{125}$）+$\frac{1}{120}$×（$\frac{64}{125}$+$\frac{48}{125}$+$\frac{12}{125}$）=$\frac{373}{1250}$，
故女生队不输给男生队的概率为1-$\frac{373}{1250}$=$\frac{877}{1250}$

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意对立事件概率计算公式的合理运用．