Question

在下列四个命题中，
①如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题一定是真命题．
②方程

x2

2-k

+

y2

k-1

=1的图象表示双曲线的充要条件是k＜1或k＞2．
③过点M（2，4）作与抛物线y²=8x只有一个公共点的直线l有且只有一条．
④圆x²+y²=4上恰有三个点到直线4x-3y+5=0的距离为1．
正确的有

①②④

．（填序号）

Answer 1

分析：①因为原命题的逆命题与其否命题是互为逆否命题，是等价命题，即可判断出；
②方程

x2

2-k

+

y2

k-1

=1的图象表示双曲线的充要条件是（2-k）（k-1）＜0，解得即可判断出；
③可知M（2，4）在抛物线y²=8x上，因此过此点的切线和对称轴（x轴）平行的直线都与抛物线有且只有一个公共点，即可判断出；
④圆x²+y²=4的圆心（0，0）到直线4x-3y+5=0的距离d=

5

32+42

=1，而半径r=2，因此与此直线平行且与圆相切的其中一条切线满足条件，与此直线平行且距离为1的与圆相交的直线满足条件，故圆x²+y²=4上恰有三个点到直线4x-3y+5=0的距离为1，正确．

解答：解：①因为原命题的逆命题与其否命题是互为逆否命题，因此如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题一定是真命题，正确；
②方程

x2

2-k

+

y2

k-1

=1的图象表示双曲线的充要条件是（2-k）（k-1）＜0，解得k＜1或k＞2，因此正确；
③可知M（2，4）在抛物线y²=8x上，因此过此点的切线和对称轴（x轴）平行的直线都与抛物线有且只有一个公共点，故过点M（2，4）作与抛物线y²=8x只有一个公共点的直线l有两条，不正确；
④圆x²+y²=4的圆心（0，0）到直线4x-3y+5=0的距离d=

5

32+42

=1，而半径r=2，因此与此直线平行且与圆相切的其中一条切线满足条件，与此直线平行且距离为1的与圆相交的直线满足条件，故圆x²+y²=4上恰有三个点到直线4x-3y+5=0的距离为1，正确．
综上可知：只有①②④正确．
故答案为①②④．

点评：本题综合考查了命题之间的关系、表示双曲线的充要条件、直线与抛物线的交点问题、直线与圆的交点问题等基础知识，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．