Question

14．已知函数f（x）=x²-2x-8，g（x）=2x²-5x-18
（1）求不等式g（x）＜0的解集
（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接因式分解后求解不等式的解集；
（2）解法一：把函数f（x）的解析式代入f（x）≥（m+2）x-m-15，分离变量m后利用基本不等式求解m的取值范围．
解法二：构造函数h（x）=x²-（m+4）x+m+7，根据方程根的问题，分类讨论即可求出．

解答 解：（1）g（x）=2x²-5x-18＜0
∴（2x-9）（x+2）＜0解得$-2＜x＜\frac{9}{2}$，
∴不等式g（x）＜0的解集为$\{x|-2＜x＜\frac{9}{2}\}$． 
（2）解法一：∵f（x）=x²-2x-8当x＞2时，f（x）≥（m+2）x-m-15恒成立，
∴x²-2x-8≥（m+2）x-m-15，即x²-4x+7≥m（x-1），
∴对一切x＞2，均有不等式$m≤\frac{{{x^2}-4x+7}}{x-1}$成立．
而$\frac{{{x^2}-4x+7}}{x-1}=（x-1）+\frac{4}{x-1}-2≥2\sqrt{（x-1）×\frac{4}{x-1}}-2=2$（当x=3时等号成立）．
∵x＞2，
∴实数m的取值范围是（-∞，2]．               
解法二：∵f（x）=x²-2x-8当x＞2时，f（x）≥（m+2）x-m-15恒成立，
即x²-（m+4）x+m+7≥0对x＞2恒成立
令h（x）=x²-（m+4）x+m+7，
△=（m+4）²-4（m+7）=m²+4m-12=（m+6）（m-2）
①当h（x）图象与x轴没有交点或只有一个交点时，△≤0即-6≤m≤2时满足条件
②当h（x）图象与x轴有两个交点时，则有$\left\{\begin{array}{l}△＞0\\ \frac{m+4}{2}≤2\\ h（2）≥0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}（m+6）（m-2）＞0\\ \frac{m+4}{2}≤2\\-m+3≥0\end{array}\right.⇒m＜-6$
综上所述，实数m的取值范围是（-∞，2]

点评 本题考查了一元二次不等式的解法，考查了数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求函数的最值，是中档题