Question

变量x、y满足
(1)设z＝，求z的最小值；
(2)设z＝x²＋y²，求z的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析： 由题意画出可行域，分别求出可行域各顶点、、坐标.（1）将所求目标函数构造为，此时可以看作是可行域内的点与原点连成直线的斜率的最小值，由于可行域范围在第一象限内，所以可行域内的点与原点连线中倾斜角最小的为，故，再由顶点坐标可求出的最小值；（2）将目标函数构造为，此时可以看作是可行域内的点与原点之间距离的范围，经查验比较可得，，通过计算、的值可以求出所求的取值范围.提示：在解决此类线性规划问题中，常常把目标函数构造出斜截式的直线方程、过原点直线的斜率、与某一定点间的距离等等，再通过求截距、斜率、距离来求出目标函数的值.
试题解析：由约束条件，作出可行域如图所示.
    3分
由，解得
由，解得
由，解得.      6分
（1）因为，所以的值即是可行域中的点与原点连线的斜率.
观察图形可知        9分
（2）的几何意义是可行域上的点到原点的距离的平方，
结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，，，
所以所求的取值范围为.