Question

数列{a_n} （n∈N^*）为递减的等比数列，且a₁和a₃为方程log_m（5x-4x²）=0（m＞0且m≠1）的两个根．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

解：（1）方程log_m（5x-4x²）=0（m＞0且m≠1）即 5x-4x²=1，即4x²-5x+1=0．
利用韦达定理可得a₁ +a₃=，a₁ •a₃=．再由数列{a_n} （n∈N^*）为递减的等比数列可得a₁ =1，a₃=，故公比为．
∴a_n=．
（2）∵b_n====（-）．
∴数列{b_n}的前n项和S_n=[（1-）+++…+=（1-）=．
分析：（1）方程即4x²-5x+1=0，利用韦达定理可得a₁ +a₃=，a₁ •a₃=．再由数列{a_n}为递减的等比数列可得a₁ =1，a₃=，可得公比的值，从而求得数列{a_n}的通项公式．
（2）数列{b_n}的通项 b_n=（-），用裂项法求出数列{b_n}的前n项和S_n 的值．
点评：本题主要考查对数的运算性质、等比数列的通项公式，用裂项法对数列进行求和，属于中档题．