Question

过椭圆（a＞b＞0）的一个焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆于点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点A（-2，0）的直线l与椭圆C交于两点M、N，使得（其中P为弦MN的中点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，得F（-1，0），
∴，
解得a²=2，b²=1，
∴椭圆C的方程为．
（Ⅱ）设满足条件的直线l存在，方程为y=k（x+2）（k必存在），
代入椭圆方程，得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-2=0，
∵△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，
∴，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则，
∵P为MN的中点，且|FP|=|MN|，
∴FM⊥FN，
∴，
∴（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）
=（1+k²）x₁x₂+（1+2k²）（x₁+x₂）+1+4k²=0，
∴，，
满足，
∴满足条件的直线存在，其方程为．
即满足条件的直线方程为x+2y+2=0或x-2y+2=0．
分析：（Ⅰ）依题意，得F（-1，0），由此解得a²=2，b²=1，从而能够求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-2=0，由△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，知，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则，由P为MN的中点，且|FP|=|MN|，知，（1+k²）x₁x₂+（1+2k²）（x₁+x₂）+1+4k²=0，由此能导出满足条件的直线存在，并能求出其方程．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是知识椭圆的体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．