Question

定义在R上的偶函数y=f（x）满足：①对x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）；②当x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂时，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，若方程f（x）=0在区间[a，8-a]上恰有3个不同实根，实数a的取值范围是

（-7，-3）

．

Answer 1

分析：利用条件确定函数的周期性，利用周期性，奇偶性和单调性之间的关系，利用数形结合确定方程区间的取值范围．

解答：解：∵f（x+6）=f（x）+f（3），
∴当x=-3时，f（-3+6）=f（-3）+f（3），
即f（3）=2f（3），∴f（3）=0，
即f（x+6）=f（x）+f（3）=f（x），
∴函数的周期是6．
∵当x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂时，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
∴函数f（x）在[0，3]上单调递增，
∵数y=f（x）是偶函数，∴函数f（x）在[-3，0]上单调递减．
∵区间[a，8-a]关于x=

a+8-a

2

=4对称．
则由8-a-a＞0，解得a＜4．
∵-3关于x=4对称的点为x=11，
15关于x=4对称的点为x=-7，
∴要使方程f（x）=0在区间[a，8-a]上恰有3个不同实根，
则11＜8-a＜15，
解得-7＜a＜-3，
故答案为：（-7，-3）．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件确定函数的周期，利用函数性质的综合应用是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的突破，难度较大，综合性较强．