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解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线l不过第四象限且斜率为3,又坐标原点到切线l的距离为,若时,y=f(x)有极值.

(1)

求a、b、c的值

(2)

求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.

答案:
解析:

(1)

解:由,得

.……………………………………2分

当x=1时,切线l的斜率为3,可得2a+b=0.    ①

时,有极值,则,可得4a+3b+4=0.    ②

由①、②解得a=2,b=-4.……………………………………5分

设切线l的方程为

由原点到切线l的距离为

.解得m=±1.

∵切线l不过第四象限,

∴m=1.……………………………………6分

由于l切点的横坐标为x=1,∴

∴1+a+b+c=4.

∴c=5.…………………………………………………………………7分

(2)

解:由1可得

.……………………………………8分

,得x=-2,

……………………………………11分

f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=13.

处取得极小值

f(-3)=8,f(1)=4.

f(x)在[-3,1]上的最大值为13,最小值为.……………………………………13分


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