Question

一个空间几何体的三视图如图所示，其中分别是五点在直立、侧立、水平三个投影面内的投影，且在主视图中，四边形为正方形且；在左视图中俯视图中，

   （Ⅰ）根据三视图作出空间几何体的直观图，并标明五点的位置；

   （Ⅱ）在空间几何体中，过点作平面的垂线，若垂足H在直线 上，求证：平面⊥平面；

   （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥的体积及其外接球的表面积.

Answer 1

解：（Ⅰ）

 

空间几何体的直观图如图所示，

       且可得到平面⊥平面，

       四边形为正方形且

   （Ⅱ）证明：过点作平面的垂线，垂足H在直线上，

       平面且平面，

       平面，，

       又平面⊥平面，

       又，故平面⊥平面

   （Ⅲ）由（Ⅱ）知，，

为等腰直角三角形，

       过点作于点，则，

       ∴

       取的中点，由于均为直角三角形，所以

      

       是四棱锥的外接球的球心，半径为