Question

求函数y=x²-2tx+t²-1在区间[0，1]上的最小值f（t）

Answer 1

分析：先将函数配方，确定函数的对称轴，再利用对称轴与区间的位置关系，进行分类讨论，从而可求函数f（x）=x²-2tx+t²-1在区间[0，1]上的最小值f（t）

解答：解：f（x）=x²-2tx+t²-1=（x-t）²-1，函数的对称轴是x=t，开口向上，
①当t＜0时，函数在区间[0，1]上单调增，
∴函数f（x）的最小值为f（t）=f（0）=t²-1；
②当0≤t≤1时，函数在区间[0，t]上单调减，在区间[t，1]上单调增，
∴f（x）的最小值为f（t）=-1；
③当t＞1时，函数在区间[0，1]上单调减，
∴f（x）的最小值为f（1）=t²-2t．
综上可知，f（x）的最小值为f（t）=

t2-1，t＜0 -1，0≤t≤1 t2-2t，t＞1

．

点评：本题重点考查二次函数在指定区间上的最值问题，解题的关键是正确配方，确定函数的对称轴，利用对称轴与区间的位置关系，进行分类讨论．