Question

设a∈R，f（x）=为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）设g（x）=2log₂（），若不等式f^-1（x）≤g（x）在区间[，]上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）f（x）==a-
由f（x）是奇函数，可得f（-x）=-f（x），
∴
∴
∴2a=a+a^-2
∴a=1，
∴f（x）=
（2）由y=f（x）=可得，∴，∴f^-1（x）=，
不等式f^-1（x）≤g（x）在区间[，]上恒成立，即≤2log₂（）恒成立，
即恒成立
即k²≤1-x²在区间[，]上恒成立，
∵y=1-x²在区间[，]上单调递减
∴
∴
∴．
分析：（1）f（x）==a-，由f（x）是奇函数，可得f（-x）=-f（x），代入化简可求实数a的值；
（2）由y=f（x）=可得f^-1（x）=，不等式f^-1（x）≤g（x）在区间[，]上恒成立，即≤2log₂（）恒成立，即k²≤1-x²在区间[，]上恒成立，求出右边函数的最小值，即可求实数k的取值范围．
点评：本题考查函数的奇偶性，考查反函数，考查恒成立问题，解题的关键是分离参数，确定函数的最值，属于中档题．