Question

（本小题满分14分）
如图6，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，EF⊥PB交PB于点F.

(Ⅰ) 若PD=DC=2求三棱锥A-BDE的体积；
(Ⅱ) 证明PA∥平面EDB；
(Ⅲ) 证明PB⊥平面EFD.

Answer 1

解：(Ⅰ)设CD的中点为H，连结EH，

依题意得EH//PD，且EH=PD=1，因为PD⊥底面ABCD，所以EH⊥底面ABCD，故三棱锥E-ABD的高是EH，其体积为

因为，所以三棱锥A-BDE的体积为.
(Ⅱ)证明：连结AC，AC交BD于O，连EO，∵底面 ABCD是正方形，∴点O是AC中点，在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO,而EO平面EDB，且PA平面EDB，∴PA∥平面EDB.
(Ⅲ) 证明：∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD，
∴PD⊥DC.
∵PD=DC可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，
∴DE⊥PC.①
同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC，
∵底面ABCD是正方形有DC⊥BC,
∴BC⊥平面PDC，而DE平面PDC，
∴BC⊥DE.②
由①②得DE⊥平面PBC，而PB面PBC，
∴DE⊥PB又EF⊥PB且DE∩EF=E，
∴PB⊥平面EFD.

解析