Question

已知定义在R上的可导函数y=f（x）对任意x∈R都有f（x）=f（-x），且当x≠0时，有x•f′（x）＜0，现设a=f（-sin32°），b=f（cos32°），则实数a，b的大小关系是

a＞b

．

Answer 1

分析：根据当x≠0时，有x•f′（x）＜0，则当x＞0时，f′（x）＜0，即可得f（x）的单调性，再根据对任意x∈R都有f（x）=f（-x），即可得f（x）为偶函数，利用偶函数的性质，将a=f（-sin32°）转化为a=f（sin32°），b=f（cos32°），利用函数f（x）的单调性，即可判断出a与b的大小关系．

解答：解：∵当x≠0时，有x•f′（x）＜0，
∴当x＞0时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，
∵函数y=f（x）对任意x∈R都有f（x）=f（-x），
∴f（x）为偶函数，
∴a=f（-sin32°）=f（sin32°），
∵sin32°＜cos32°，且f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，
∴f（sin32°）＞f（cos32°），
∴a＞b．
故答案为：a＞b．

点评：本题考查了函数的性质，偶函数的定义，函数的单调性的应用．考查了利用利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．属于中档题．