Question

已知函数f（x）=x-

1

x

．
（1）用函数单调性的定义证明：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）求函数f（x）在[3，6]上的最小值和最大值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设x₁＜x₂＜0，则f（x₁）-f（x₂）=

(x1-x2)(1+x1x2)

x1x2

，结合已知可判断f（x₁）＞f（x₂），从而可证．
（2）由（1）知函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，函数f（x）在[3，6]上是增函数，故最值在端点处取．

解答： 解：（1）证明：设x₁＜x₂＜0，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁-

1

x1

-x₂+

1

x2

=（x₁-x₂）+（

1

x2

-

1

x1

）
=（x₁-x₂）+

x1-x2

x1x2

=

(x1-x2)(1+x1x2)

x1x2

，
∵x₁＜x₂＜0，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，1+x₁x₂＞0
∴

(x1-x2)(1+x1x2)

x1x2

＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调递增．
（2）由（1）知函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；
∴函数f（x）在[3，6]上是增函数；
∴ymax=f(6)=

35

6

，ymin=f(3)=

8

3

．

点评：本题主要考查了函数的单调性的定义在证明函数的单调性中的应用