Question

8．如图，椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为A，B，右焦点为F，且$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=1，|$\overrightarrow{OF}$|=1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点F作直线l₁，l₂，直线l₁与椭圆分别交于点M，N，直线l₂与椭圆分别交于点P，Q，且|$\overrightarrow{MP}$|²+|$\overrightarrow{NQ}$|²=|$\overrightarrow{NP}$|²+|$\overrightarrow{MQ}$|²．
①证明：l₁⊥l₂； ②求四边形MPNQ的面积S的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆的c，利用$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=1，求出，a得到椭圆的方程．
（ II）①设M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），P（x_P，y_P），Q（x_Q，y_Q）通过$|\overrightarrow{MP}{|^2}+|\overrightarrow{NQ}{|^2}=|\overrightarrow{NP}{|^2}+|\overrightarrow{MQ}{|^2}$化简证明l₁⊥l₂
②（a）若直线l₁，l₂中有一条斜率不存在，不妨设l₂的斜率不存在，则可得l₂⊥x轴，求出四边形MPNQ的面积．（b）若直线l₁，l₂的斜率存在，设直线l₁：y=k（x-1）（k≠0），联立方程组，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用韦达定理，弦长公式求解四边形MPNQ的面积利用基本不等式求解最小值．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，则由题意知c=1，
又∵$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=1，即：（a+c）（a-c）=1=a²-c²，∴a²=2．
∴b²=a²-c²=1，
故椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$…．（4分）
（ II）①设M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），P（x_P，y_P），Q（x_Q，y_Q）
则由题意$|\overrightarrow{MP}{|^2}+|\overrightarrow{NQ}{|^2}=|\overrightarrow{NP}{|^2}+|\overrightarrow{MQ}{|^2}$
即$\begin{array}{c}{（{x}_{M}-{x}_{P}）}^{2}+{（{y}_{M}+{y}_{P}）}^{2}+{（{x}_{N}-{x}_{Q}）}^{2}+{（{y}_{N}+{y}_{Q}）}^{2}\end{array}\right.$
=${（{x}_{N}-{x}_{P}）}^{2}+{（{y}_{N}+{y}_{P}）}^{2}+{（{x}_{M}-{x}_{Q}）}^{2}+{（{y}_{M}+{y}_{Q}）}^{2}$
整理得  x_Nx_P+x_Mx_Q-x_Mx_P-x_Nx_Q+y_Ny_P+y_My_Q-y_My_P-y_Ny_Q=0
即（x_N-x_M）（x_P-x_Q）+（y_N-y_M）（y_P-y_Q）=0，
∴l₁⊥l₂
（注：证明l₁⊥l₂，用几何法同样得分）…（10分）
②（a）若直线l₁，l₂中有一条斜率不存在，不妨设l₂的斜率不存在，则可得l₂⊥x轴，
∴|MN|=2$\sqrt{2}$，|PQ|=$\sqrt{2}$．
故四边形MPNQ的面积S=$\frac{1}{2}$|PQ||MN|=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$=2．
（b）若直线l₁，l₂的斜率存在，设直线l₁：y=k（x-1）（k≠0），
则由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=k（x-1）\end{array}\right.$可得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{k^2}-2}}{{2{k^2}+1}}$，$|MN|=\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{{（{x}_{1}+{x}_{2}）}^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{{（\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}）}^{2}-\frac{4（2{k}^{2}-2）}{2{k}^{2}+1}}$
=$\frac{2\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{2{k}^{2}+1}$…（12分）
同理可求得$|PQ|=\frac{{2\sqrt{2}（1+{k^2}）}}{{2+{k^2}}}$…（14分）
故四边形MPNQ的面积：$\begin{array}{c}S=\frac{1}{2}|PQ||MN|=\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{2{k}^{2}+1}×\frac{2\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{2+{k}^{2}}\end{array}\right.$=$\frac{4}{2+\frac{1}{{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+2}}≥\frac{16}{9}$
当且仅当k=±1时取等号
综上：四边形MPNQ的面积S的最小值为$\frac{16}{9}$…（16分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，弦长公式的求法，直线与直线的垂直垂直，考查分类讨论转化思想以及计算能力．