Question

给出数列{a_n}的条件如下：①设b_n=2a_n，{b_n}是等差数列；②设b_n-1=a_n-1+a_n（n≥2），{b_n}是等差数列；
③前n项的和S_n=n²+1；④设b_n=2a_n-1，数列{b_n}前n项和为n²．其中使数列{a_n}是等差数列的条件的正确序号是

 

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Answer 1

分析：①中根据，{b_n}是等差数列可推断出a_n-a_n-1也是常数，进而推断出数列{a_n}为等差数列；②中根据数列的递推可求得a_n+1-a_n-1为常数但不是相邻的两项，故数列{a_n}不一定是等差数列②不正确；③根据数列的递推式可求得数列{a_n}的通项公式，推断出不是等差数列；④中根据2a_n-1=n²-（n-1）²求得数列的通项公式，进而推断出数列为等差数列．最后综合可得答案．

解答：解：对于①{b_n}是等差数列，∴b_n-b_n-1=2a_n-2a_n-1=d（常数）
∴a_n-a_n-1=

d

2

，故数列{a_n}为等差数列，①正确．
∵b_n-1=a_n-1+a_n，∴b_n=a_n+a_n+1，两式相减得a_n+1-a_n-1=d，数列{a_n}不一定是等差数列②不正确
③中S_n=n²+1，∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，但a₁=1²+1=2不符合a_n=2n-1
∴a_n=

2，n=1 2n-1，n≥2

∴数列{a_n}不是等差数列
④2a_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，n≥2，a_n=n，当n=1时a₁=1符合
∴a_n=n，∴数列{a_n}为等差数列
故答案为：①④

点评：本题主要考查了等差数列的定义和等差数列的通项公式的应用．考查了学生对等差数列的基础知识的综合运用．