Question

15．已知集合A={x|2${\;}^{x-{x}^{2}}$＞1}，B={x|lg（x²-2ax+a²+1）＞0}
（1）当a=1时，求A∩B
（2）若A∪B=R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 解指数不等式可得A=（0，1），解对数不等式可得B=（∞，a）∪（a，+∞），
（1）将a=1代入，结合集合的交集运算，可得A∩B
（2）若A∪B=R，则a∈（0，1）

解答 解：若2${\;}^{x-{x}^{2}}$＞1，则x-x²＞0，解得：x∈（0，1），
故A=（0，1），
若lg（x²-2ax+a²+1）＞0，
则x²-2ax+a²+1＞1，
解得：x≠a，
故B=（∞，a）∪（a，+∞），
（1）当a=1时，A∩B=（0，1）∩（-∞，1）∪（1，+∞）=（0，1），
（2）若A∪B=R，则a∈（0，1）

点评 本题考查的知识点是集合的交集，并集及补集运算，指数不等式和对数不等式的解法，难度中档．