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如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:的离心率为,短轴长是2.

(1)求a,b的值;
(2)设椭圆C的下顶点为D,过点D作两条互相垂直的直线l1,l2,这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M,N.设l1的斜率为k(k≠0),△DMN的面积为S,当时,求k的取值范围.

(1)a=2,b=1(2).

解析试题分析:(1)两个未知数,两个独立条件.由 a2=b2+c2,解得a=2,b=1.正确解答本题需注意短轴长为而不是(2)本题关键是用l1的斜率为k表示出△DMN的面积,因为为直线l1与椭圆C的交点,所以由直线l1方程与椭圆C的方程联立方程组得M坐标为,从而有.由于N与M相似性,可用代k直接得,所以△DMN的面积S=,到此只需将S代入,并化简可得k的取值范围为
试题解析:
(1)设椭圆C的半焦距为c,则由题意得,又a2=b2+c2
解得a=2,b=1.                                   4分
(2)由(1)知,椭圆C的方程为
所以椭圆C与y轴负半轴交点为D(0,-1).
因为l1的斜率存在,所以设l1的方程为y=kx-1.
代入,得
从而.  6分
代k得
所以△DMN的面积S= 8分
 
因为,即
整理得4k4-k2-14<0,解得<k2<2
所以0<k2<2,即<k<0或0<k<
从而k的取值范围为
考点:椭圆中基本量,直线与椭圆交点

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