如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:的离心率为,短轴长是2.
(1)求a,b的值;
(2)设椭圆C的下顶点为D,过点D作两条互相垂直的直线l1,l2,这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M,N.设l1的斜率为k(k≠0),△DMN的面积为S,当时,求k的取值范围.
(1)a=2,b=1(2).
解析试题分析:(1)两个未知数,两个独立条件.由 a2=b2+c2,解得a=2,b=1.正确解答本题需注意短轴长为而不是(2)本题关键是用l1的斜率为k表示出△DMN的面积,因为为直线l1与椭圆C的交点,所以由直线l1方程与椭圆C的方程联立方程组得M坐标为,从而有.由于N与M相似性,可用代k直接得,所以△DMN的面积S=,到此只需将S代入,并化简可得k的取值范围为.
试题解析:
(1)设椭圆C的半焦距为c,则由题意得,又a2=b2+c2,
解得a=2,b=1. 4分
(2)由(1)知,椭圆C的方程为
所以椭圆C与y轴负半轴交点为D(0,-1).
因为l1的斜率存在,所以设l1的方程为y=kx-1.
代入,得,
从而. 6分
用代k得
所以△DMN的面积S= 8分
则=
因为,即
整理得4k4-k2-14<0,解得<k2<2
所以0<k2<2,即<k<0或0<k<.
从而k的取值范围为.
考点:椭圆中基本量,直线与椭圆交点
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,斜率为1的直线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,与抛物线交于两点A,B,M为抛物线弧AB上的动点.
(1)若|AB|=8,求抛物线的方程;
(2)求的最大值
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程;
(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点,若A是PB的中点,求直线m的斜率.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆+=1(a>b>0),点P(a,a)在椭圆上.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设A为椭圆的左顶点,O为坐标原点,若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线OQ的斜率的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设点P是圆x2+y2=4上任意一点,由点P向x轴作垂线PP0,垂足为P0,且=.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)设直线l:y=kx+m(m≠0)与(1)中的轨迹C交于不同的两点A,B.
若直线OA,AB,OB的斜率成等比数列,求实数m的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知△OFQ的面积为S,且·=1.设||=c(c≥2),S=c.若以O为中心,F为一个焦点的椭圆经过点Q,当||取最小值时,求椭圆的方程.
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