Question

5．已知函数f（x）=ln（m•e^x+ne^-x）+m为偶函数，且其最小值为2+ln4，则m-n=0，{x|f（x）≤f（m+n）}={x|-4≤x≤4}．

Answer 1

分析 根据f（x）为偶函数，便有f（-x）=f（x），这样便可得出m=n，从而得出m-n=0．从而得到$f（x）=lnm（{e}^{x}+\frac{1}{{e}^{x}}）+m$，根据基本不等式及对数函数的单调性即可得出f（x）的最小值为ln2m+m，而已知最小值为2+ln4，从而得到m=2，n=2，这便可得出f（x）解析式，通过求导数，便可判断f（x）的单调性，从而根据f（x）的单调性即可解出f（x）≤f（4），从而得出{x|f（x）≤f（m+n）}．

解答 解：f（x）为偶函数；
∴f（-x）=f（x）；
即ln（me^-x+ne^x）+m=ln（me^x+ne^-x）+m；
∴m=n；
∴m-n=0；
∴$f（x）=lnm（{e}^{x}+\frac{1}{{e}^{x}}）+m$≥ln2m+m；
∴f（x）的最小值为ln2m+m=2+ln4；
∴m=2，n=2；
∴f（x）=ln2（${e}^{x}+\frac{1}{{e}^{x}}$）+2，$f′（x）=\frac{（{e}^{x}+1）（{e}^{x}-1）}{{e}^{2x}+1}$；
∴x＜0时，f′（x）＜0，x＞0时，f′（x）＞0；
即f（x）在（-∞，0）上单调递减，在[0，+∞）上单调递增；
∴{x|f（x）≤f（m+n）}={x|f（x）≤f（4）}={x|-4≤x≤4}．
故答案为：0，{x|-4≤x≤4}．

点评 考查偶函数的定义，基本不等式用于求最小值，根据导数符号判断函数的单调下，而根据函数单调性解不等式的方法．