Question

15．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x-4），x＞0}\\{{2}^{x}+{∫}_{0}^{\frac{π}{6}}cos3xdx，x≤0}\end{array}\right.$，则f（2013）=$\frac{11}{24}$．

Answer 1

分析 请查收的周期，利用定积分求出x≤0时的解析式，然后求解函数值即可．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x-4），x＞0}\\{{2}^{x}+{∫}_{0}^{\frac{π}{6}}cos3xdx，x≤0}\end{array}\right.$，
${∫}_{0}^{\frac{π}{6}}cos3xdx$=$\frac{1}{3}sin3x{|}_{0}^{\frac{π}{6}}$=$\frac{1}{3}$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}f（x-4），x＞0\\{2}^{x}+\frac{1}{3}，x≤0\end{array}\right.$，
x＞0时，函数的周期为4，
f（2013）=f（2012+1）=f（1）=f（-3）=2^-3+$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{8}+\frac{1}{3}$=$\frac{11}{24}$．
故答案为：$\frac{11}{24}$

点评 本题考查分段函数的应用，定积分的求法，函数值的求法，考查计算能力．