Question

若x（2x²-2x-1）+3=（x+1）f（x），且f（x）≥m对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：由已知得2（x+1）（x²-x+1）-2（x+1）（x-1）-（x+1）=（x+1）f（x），从而f（x）=2x²-2x+x-2x+2-1=2x²+x+1，由此利用配方法能求出结果．

解答： 解：∵x（2x²-2x-1）+3=（x+1）f（x），
∴2x³+2-2x²+2-x-1=（x+1）f（x），
∴2（x+1）（x²-x+1）-2（x+1）（x-1）-（x+1）=（x+1）f（x），
∴f（x）=2x²-2x+x-2x+2-1=2x²+x+1，
=2（x+

1

4

）²+

7

8

≥

7

8

．
∵f（x）≥m对一切x∈R恒成立，
∴m≤

7

8

．
故答案为：m≤

7

8

．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二次函数的性质的合理运用．