Question

已知数列{a_n}满足S_n+S_n-1=ta_n²（t＞0，n≥2），且a₁=0，n≥2时，a_n＞0．其中S_n是数列a_n的前n项和．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（III）若对于n≥2，n∈N*，不等式++…+＜2恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

解：（I）依题意，，
（1）-（2）得a_n+a_n-1=t（a_n²-a_n-1²）（n≥3）．
由已知a_n+a_n-1≠0，故a_n-a_n-1=1（n≥3），
由a₁=0，S₂+S₁=ta₂²，得a₂=ta₂²，
∴a₂=0（舍）或a₂=，
即数列{a_n}从第二项开始是首项为，公差为1的等差数列．
所以a_n=（n≥2），又当n=1时，a₁==0，
所以a_n=（n∈N^﹡）．
（II）设T_n=++…+
=+++…+
=t²（1-）
要使T_n＜2，对于n≥2，n∈N^*恒成立，只要T_n=t²（1-）＜t²≤2成立，所以0＜t≤．
分析：（1）充分利用相邻两项之间的关系，利用作差法即可获得数列特点．结合等差数列的特点根据分类讨论即可获得问题的解答；
（2）根据第（1）问题结论利用裂项的方法即可求的不等式左边当n≥2时的前n项和，进而问题转化为t²（1-）＜2对于n≥2，n∈N^*恒成立，再结合放缩法即可获得问题的解答．
点评：本题考查的是数列与不等式的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了通项与前n项和的关系、等差数列的知识、分类讨论的思想以及恒成立的思想和问题转化的能力．值得同学们体会反思．