Question

为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：

编号	1	2	3	4	5
x	169	178	166	175	180
y	75	80	77	70	81

（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品总数．
（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175，y≥75，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量．
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中的优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．

Answer 1

分析：（1）有分层抽样可知各层抽取的比例相等，先计算出甲厂抽取的比例，按此比例计算乙厂生产的产品总数即可．
（2）先计算抽取的5件样品中优等品的概率，再由此概率估计乙厂生产的优等品的数量即可．
（3）ξ的所有可能取值为0，1，2．由古典概型分别求概率，再求期望即可，此分布列为超几何分布．

解答：解：（1）甲厂抽取的比例

14

98

=

1

7

，因为乙厂抽出5件，故乙厂生产的产品总数35件．
（2）x≥175，y≥75的有两件，比例为

2

5

，因为乙厂生产的产品总数35件，
故乙厂生产的优等品的数量为35×

2

5

=14件．
（3）乙厂抽出的上述5件产品中有2件为优等品，任取两件的取法有C₅²=10种
ξ的所有可能取值为0，1，2．
P（ξ=0）=

C 2 3

10

=

3

10

，
P（ξ=1）=

2×3

10

=

6

10

，
P（ξ=2）=

1

10

，
∴ξ的分布列为：

故Eξ=

6

10

+

2

10

=

4

5

．

点评：本题考查分层抽样、样本估计总体、离散型随机变量的分布列和期望等知识，考查利用所学知识解决问题的能力．