Question

若定义在区间D上的函数y=f(x)对于区间D上的任意两个值x₁、x₂总有以下不等式［f(x₁)+f(x₂)］≤f()成立,则称函数y=f(x)为区间D上的凸函数;

(1)证明定义在R上的二次函数f(x)=ax²+bx+c(a＜0)是凸函数;

(2)对于(1)中的二次函数f(x)=ax²+bx+c(a＜0),若|f(1)|≤1,|f(2)|≤2,|f(3)|≤3,求|f(4)|取得最大值时函数y=f(x)的解析式.

Answer 1

思路解析：本题是阅读理解题目,根据题意对凸函数的定义进行变形证明,在求函数解析式是要想办法用f(1)、f(2)和f(3)表示f(4),从而求出f(4)的最大值,这样把不等关系转化为相等关系求出待定系数.

证明：(1)任取x₁,x₂∈R,则

2f()-［f(x₁)+f(x₂)］

=2［a()²+b+c］-［ax₁²+bx₁+c］-［ax₂²+bx₂+c］

=［(x₁+x₂)²-2(x₁²+x₂²)］=-(x₁-x₂)².

∵a＜0,

∴2f()-［f(x₁)+f(x₂)］≥0.

∴［f(x₁)+f(x₂)］≤f().

∴由定义得y=f(x)是R上的凸函数.

(2)∵

又∵|f(4)|=|16a+4b+c|=|f(1)-3f(2)+3f(3)|≤|f(1)|+3|f(2)|+3|f(3)|.

又∵|f(1)|≤1,|f(2)|≤2,|f(3)|≤3.

∴|f(4)|≤|f(1)|+3|f(2)|+3|f(3)|≤16.

∴当且仅当时取等号,代入上式得

∴f(x)=-4x²+15x-12.