Question

函数y=x²+1（0≤x≤1）图象上点P处的切线与直线y=0，x=0，x=1围成的梯形面积等于S，则S的最大值等于

 

，此时点P的坐标是

 

．

Answer 1

分析：设P点坐标为（a，a²+1）则得到在P处的切线方程，利用定积分的方法求出梯形的面积，求出面积的最大值即可得到P的坐标．

解答：解：设P（a，a²+1）则过P的切线方程为：y=2ax-a²+1，
则S=∫₀¹（2ax-a²+1）dx=（ax²-a²x+x）|₀¹=-a²+a+1为二次函数，
当a=

1

2

时，S有最大值，S_max=

5

4

．且此时P的坐标为（

1

2

，

5

4

）．
故答案为

5

4

，（

1

2

，

5

4

）

点评：考查学生会利用导数求切线斜率并写出切线方程的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力．