Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其左、右焦点分别为F₁，F₂，短轴长为2

3

．点P在椭圆C上，且满足△PF₁F₂的周长为6．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点（-1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问在x轴上是否存在一个定点M，使得

MA

•

MB

恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由题意知：

2b=2 3 2a+2c=6 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆C方程．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0）．设直线l的方程为：y=k（x+1）（k存在）联立

y=k(x+1) 3x2+4y2=12

，得：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积结合已知条件推导出存在M(-

11

8

，0)，使得

MA

•

MB

=-

135

64

．

解答： 解：（I）由题意知：

2b=2 3 2a+2c=6 a2=b2+c2

，
解得

a=2 b= 3 c=1

，
∴椭圆C方程为：

x2

4

+

y2

3

=1
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0）．
设直线l的方程为：y=k（x+1）（k存在）
联立

y=k(x+1) 3x2+4y2=12

，得：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，
则x1+x2=

-8k2

4k2+3

；x1•x2=

4k2-12

4k2+3

又y1•y2=k2(x1+1)(x2+1)=k2(x1x2+x1+x2+1)
=k2(

4k2-12

4k2+3

-

8k2

4k2+3

+1)=

-9k2

4k2+3

而

MA

•

MB

=(x1-m)(x2-m)+y1y2
=

4k2-12

4k2+3

-m×

-8k2

4k2+3

-

9k2

4k2+3

+m2
=

4k2-12+8mk2-9k2+m2(4k2+3)

4k2+3

=

(4m2+8m-5)k2+3m2-12

4k2+3

为定值．
只需

4m2+8m-5

4

=

3m2-12

3

，
解得：m=-

11

8

，从而

MA

•

MB

=-

135

64

．
当k不存在时，A(-1，

3

2

)，B(-1，-

3

2

)
此时，当m=-

11

8

时，

MA

•

MB

=(-1-m)(-1-m)-

9

4

=-

135

64

故：存在M(-

11

8

，0)，使得

MA

•

MB

=-

135

64

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量的数量积的合理运用．