Question

19．已知函数f（x）=x|x-a|+b，若存在a≤1，使函数f（x）＜0对任意x∈[0，1]成立，则实数b的取值范围为（　　）

• A． （-∞，2$\sqrt{2}$）
• B． （-∞，-3）
• C． （-$∞，-3+2\sqrt{2}$）
• D． （4+2$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=x|x-a|，然后分a≤0，0＜a＜x≤1，0＜x＜a≤1三种情况对g（x）去绝对值，得到三种情况下g（x）的最大值，然后求得最大值的最小值为$3-2\sqrt{2}$，由
$3-2\sqrt{2}+b＜0$求得b的取值范围．

解答 解：令g（x）=x|x-a|．
（1）当a≤0时，g（x）=x（x-a）≤1-a（x=1时取等号）；
（2）当0＜a＜x≤1时，g（x）=x（x-a）≤1-a（x=1时取等号）；
（3）当0＜x＜a≤1时，g（x）=-x（x-a）=$-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}≤\frac{{a}^{2}}{4}$（x=$\frac{a}{2}$时取等号）．
比较（2）（3）知，
当$a≥2（\sqrt{2}-1）$时，$\frac{{a}^{2}}{4}≥1-a$；当0$≤a≤2（\sqrt{2}-1）$时，$\frac{{a}^{2}}{4}＜1-a$．
∴可令h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{1-a，a＜2（\sqrt{2}-1）}\\{\frac{{a}^{2}}{4}，2（\sqrt{2}-1）≤a≤1}\end{array}\right.$，
由h（a）的单调性可知，当a=$2（\sqrt{2}-1）$时，$[g（a）]_{min}=\frac{{a}^{2}}{4}=3-2\sqrt{2}$．
由$3-2\sqrt{2}+b＜0$，得b$＜-3+2\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，正确分类是解答该题的关键，是难题．