Question

已知数列{b_n}满足条件：首项b₁=1，前n项之和B_n=

3n2-n

2

．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设数列{an}的满足条件：an=（1+

1

bn

） a_n-1，且a₁=2，试比较a_n与

3	bn+1

的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由b_n=B_n-B_n-1=

3n2-n

2

-

3(n-1)2-(n-1)

2

=3n-2，能得到数列{b_n}的通项公式．
（2）由an=（1+

1

bn

）a_n-1，得

an

an-1

=1+

1

bn

，an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•

a2

a1

a1，由a₁=2，bn=3n-2知，an=（1+

1

3n-2

）（1+

1

3n-5

）（1+

1

4

）2=（1+1）（1+

1

4

）（1+

1

3n-2

），由此入手，利用数学归纳法能够证明an＞

3	bn+1

．

解答：解：（1）当n＞1时，b_n=B_n-B_n-1
=

3n2-n

2

-

3(n-1)2-(n-1)

2

=3n-2
令n=1得b1=1，
∴bn=3n-2．（5分）
（2）由an=（1+

1

bn

）a_n-1，得

an

an-1

=1+

1

bn

∴an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•

a2

a1

a1
由a₁=2，bn=3n-2知，
an=（1+

1

3n-2

）（1+

1

3n-5

）（1+

1

4

）2
=（1+1）（1+

1

4

）（1+

1

3n-2

）
又

3	bn+1

=

3	3(n+1)-2

=

3	3n+1

，（5分）
设c_n=

3	3n+1

，
当n=1时，有（1+1）=

3	8

＞

3	3×1+1

=

3	4

当n=2时，有an=（1+1）（1+

1

4

）=

5

2

=

3	125 8

＞

3	56 8

=

3	3×2+1

=c_n
假设n=k（k≥1）时an＞c_n成立，
即（1+1）（1+

1

4

）（1+

1

3k-2

）＞

3	3k+1

成立，
则n=k+1时，
左边═（1+1）（1+

1

4

）（1+

1

3k-2

）（1+

1

3(k+1)-2

）
＞

3	3k+1

（1+

1

3(k+1)-2

）=

3	3k+1

3k+2

3k+1

（3分）
右边=c_k+1=

3	3(k+1)+1

=

3	3k+4

由（ak+1）³-（c_k+1）³=（3k+1）

(3k+2)3

(3k+1)3

-（3k+4）
=

(3k+2)3-(3k+4)(3k+1)2

(3k+1)2

=

9k+4

(3k+1)2

＞0，得ak+1＞c_k+1成立．
综合上述，an＞c_n对任何正整数n都成立．（3分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意数列递推公式的合理运用，合理地运用数学归纳法进行证明．