分析:(1)将参数方程化为普通方程,再将直线方程代入椭圆方程,利用方程的判别式,可得结论;
(2)证法一:因为a>0,b>0,a+b=1,所以(
+)[(2a+1)+(2b+1)],再利用基本不等式,可得结论;
证法二:因为a>0,b>0,(
+)[(2a+1)+(2b+1)],由柯西不等式可证结论.
解答:(1)解:直线l的普通方程为x+2y-3=0. …(3分)
曲线C的普通方程为x
2+4y
2=4. …(3分)
由方程组
得8y
2-12y+5=0
因为△=-16<0,所以曲线C与直线l没有公共点. …(4分)
(2)证法一:因为a>0,b>0,a+b=1,
所以(
+)[(2a+1)+(2b+1)]
=1+4+
+ …(5分)
≥5+2
=9. …(3分)
而(2a+1)+(2b+1)=4,所以
+≥. …(2分)
证法二:因为a>0,b>0,由柯西不等式得
(
+)[(2a+1)+(2b+1)]…(5分)
≥(
+)
2=(1+2)
2=9. …(3分)
由a+b=1,得 (2a+1)+(2b+1)=4,
所以
+≥. …(2分)
点评:本题考查参数方程,考查不等式的证明,解题的关键是化参数方程为普通方程,正确运用基本不等式与柯西不等式,属于中档题.