【题目】如图,圆与直线
相切于点
,与
正半轴交于点
,与直线
在第一象限的交点为
. 点
为圆
上任一点,且满足
,以
为坐标的动点
的轨迹记为曲线
.
(1)求圆的方程及曲线
的方程;
(2)若两条直线和
分别交曲线
于点
和
,求四边形
面积的最大值,并求此时的
的值.
(3)已知曲线的轨迹为椭圆,研究曲线
的对称性,并求椭圆
的焦点坐标.
【答案】(1),
(2)
时,四边形
的面积最大值为
.(3)
【解析】
(1)由圆半径为圆心到切线距离得圆半径,从而得圆方程,由表示出
点坐标代入圆
方程可得曲线
的方程.
(2)把方程代入曲线
的方程求得
的坐标,得
,同理可得
,由
得
,应用整体换元法结合基本不等式可求得最值(也可变形为
,求最值);
(3)由曲线的方程可得对称性:关于直线
对称,关于原点对称,求出它与对称轴的交点即顶点坐标,得出
,求出
,从而可得焦点坐标.
解:(1)由题意圆的半径
,
故圆的方程为
.
由得,
,将
代入
得为曲线
的方程.
(2)由
得,
,
所以,同理
.
由题意知 ,所以四边形
的面积
.
∵ ,∴
.
当且仅当时等号成立,此时
.
∴ 当时,四边形
的面积最大值为
.
(3) 曲线的方程为
,它关于直线
、
和原点对称,
下面证明:
设曲线上任一点的坐标为
,则
,点
关于直线
的对称点为
,显然
,所以点
在曲线
上,故曲线
关于直线
对称,
同理曲线关于直线
和原点对称.
证明:求得和直线
的交点坐标为
,
和直线
的交点坐标为
,
,
,
,
.
在上取点
.
设为曲线
上任一点,则
(因为
)
.
即曲线上任一点
到两定点
的距离之和为定值
.
若点到两定点
的距离之和为定值
,可以求得点
的轨迹方程为
(过程略).
故曲线是椭圆,其焦点坐标为
.
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【题目】设数列的通项公式为
(
,
),数列
定义如下:对于正整数
,
是使得不等式
成立的所有
中的最小值.
(1)若,
,求
;
(2)若,
,求数列
的前
项和公式;
(3)是否存在和
,使得
?如果存在,求
和
的取值范围;如果不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】
已知数列和
满足:
,
,
,其中
为实数,
为正整数.
(Ⅰ)对任意实数,证明:数列
不是等比数列;
(Ⅱ)证明:当时,数列
是等比数列;
(Ⅲ)设(
为实常数),
为数列
的前
项和.是否存在实数
,使得对任意正整数
,都有
?若存在,求
的取值范围;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图:在直角坐标系中,设椭圆
的左右两个焦点分别为
、
.过右焦点
与
轴垂直的直线
与椭圆C相交,其中一个交点为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的一个顶点为,求点M到直线
的距离;
(3)过中点的直线
交椭圆于P、Q两点,求
长的最大值以及相应的直线方程.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,
,过点
的直线与椭圆
交于
两点,延长
交椭圆
于点
,
的周长为8.
(1)求的离心率及方程;
(2)试问:是否存在定点,使得
为定值?若存在,求
;若不存在,请说明理由.
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【题目】设集合是集合
的子集,对于
,定义
,给出下列三个结论:①存在
的两个不同子集
,使得任意
都满足
且
;②任取
的两个不同子集
,对任意
都有
;③任取
的两个不同子集
,对任意
都有
;其中,所有正确结论的序号是( )
A.①②B.②③C.①③D.①②③
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