【题目】设数列的通项公式为
(
,
),数列
定义如下:对于正整数
,
是使得不等式
成立的所有
中的最小值.
(1)若,
,求
;
(2)若,
,求数列
的前
项和公式;
(3)是否存在和
,使得
?如果存在,求
和
的取值范围;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)
和
的取值范围分别是
,
.
【解析】(Ⅰ)由题意,得,解
,得
. ---------------2分
∴成立的所有n中的最小整数为7,即
.-----------4分
(Ⅱ)由题意,得,对于正整数,由
,得
. -------------------6分
根据的定义可知:当
时,
;当
时,
.
∴
. ---------------------9分
(Ⅲ)假设存在p和q满足条件,由不等式及
得
.------10分
∵,根据
的定义可知,对于任意的正整数m都有
,即
对任意的正整数m都成立.
当(或
)时,得
(或
),----12分
这与上述结论矛盾!
当,即
时,得
,解得
.
∴ 存在p和q,使得;
p和q的取值范围分别是,
. ----------14分
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn,有2Sn=n2+n+4(n∈+)
(1)求数列的通项公式an;
(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
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【题目】如图,某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树,已知角A为120°,AB,AC的长度均大于200米,现在边界AP,AQ处建围墙,在PQ处围竹篱笆.
(1)若围墙AP,AQ总长度为200米,如何围可使得三角形地块APQ的面积最大?
(2)已知AP段围墙高1米,AQ段围墙高1.5米,AP段围墙造价为每平方米150元,AQ段围墙造价为每平方米100元.若围围墙用了30000元,问如何围可使竹篱笆用料最省?
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【题目】已知函数f(x)=lnx+x2 .
(Ⅰ)求函数h(x)=f(x)﹣3x的极值;
(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)﹣ax在定义域内为增函数,求实数a的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C1的参数方程为 (θ为参数),曲线 C2的极坐标方程为ρcosθ﹣
ρsinθ﹣4=0.
(1)求曲线C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程;
(2)设P为曲线C1上一点,Q为曲线 C2上一点,求|PQ|的最小值.
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【题目】设数列{an}的前n项和为Sn , 且a1=2,an+1=2Sn+2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}的各项均为正数,且bn是 与
的等比中项,求bn的前n项和Tn .
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【题目】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.
(1)求证:平面AED⊥平面A1FD1;
(2)在AE上求一点M,使得A1M⊥平面ADE.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知圆
的半径为2,圆心在
轴的正半轴上,且与直线
相切.
(1)求圆的方程。
(2)在圆上,是否存在点
,使得直线
与圆
相交于不同的两点
,且△
的面积最大?若存在,求出点
的坐标及对应的△
的面积;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=(2﹣a)(x﹣1)﹣2lnx
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在(0, )上无零点,求a最小值.
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