Question

【题目】如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．

（1）若围墙AP，AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？
（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，AP段围墙造价为每平方米150元，AQ段围墙造价为每平方米100元．若围围墙用了30000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AP+AQ=200，

∴S= ≤ =2500 ．

当且仅当x=y=100时取“=”．

∴当x=y=100时，可使得三角形地块APQ的面积最大．

（2）解：设AP=x，AQ=y，则1x150+1.5y100=30000，

化为：x+y=200≥2 ，可得xy≤10000．

∴PQ2=x2+y2﹣2xycos120°=x2+y2+xy=（x+y）2﹣xy=40000﹣xy≥30000．

当且仅当x=y=100时取“=”．

即PQ≥100 ．

∴当且仅当x=y=100时，可使PQ取得最小值，即使用竹篱笆用料最省．

【解析】（1）先求出三角形地块APQ的面积，再利用基本不等式可得三角形地块APQ的面积最大；（2）先利用余弦定理可得PQ2，再利用基本不等式可得PQ的最小值．
【考点精析】掌握基本不等式是解答本题的根本，需要知道基本不等式：,（当且仅当时取到等号）；变形公式：．