Question

AH=AC，EB=BC，AE=AK，BH=BM．
（I ）求证：E、H、M、K四点共圆；
（II）若KE=EH，CE=3求线段 KM 的长．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先由AC=AH，AK=AE得四边形CHEK为等腰梯形，利用等腰梯形的对角互补可得C，H，E，K四点共圆；同理C，E，H，M四点共圆，即可得E，H，M，K均在点C，E，H所确定的圆上．
（Ⅱ）先由（1）得E，H，M，C，K五点共圆，再利用CEHM为等腰梯形得EM=HC，以及由KE=EH可得∠KME=∠ECH，推得△MKE≌△CEH，即可得线段KM的长．
解答：证明：（I）连接CH，
∵AC=AH，AK=AE，∴四边形CHEK为等腰梯形，
注意到等腰梯形的对角互补，
故C，H，E，K四点共圆，-----------（3分）
同理C，E，H，M四点共圆，
即E，H，M，K均在点C，E，H所确定的圆上，-------------（5分）
（II）连接EM，由（1）得E，H，M，C，K五点共圆，-----------（7分）
∵CEHM为等腰梯形，∴EM=HC，故∠MKE=∠CEH，
由KE=EH可得∠KME=∠ECH，故△MKE≌△CEH，
即KM=EC=3为所求．----------（10分）
点评：本题第一问考查四点共圆．证明四点共圆的常用方法有：对角互补；外角等于内对角；证明四点在某三点确定的圆上等等．本题用的是方法三．