Question

如图，在△ABC中，∠C为钝角，点E，H分别是边AB上的点，点K和M分别是边
AC和BC上的点，且AH=AC，EB=BC，AE=AK，BH=BM．
（Ⅰ）求证：E、H、M、K四点共圆；
（Ⅱ）若KE=EH，CE=3，求线段KM的长．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：连接CH，∵AC=AH，AK=AE，∴四边形CHEK为等腰梯形，
注意到等腰梯形的对角互补，
故C，H，E，K四点共圆，（3分）
同理C，E，H，M四点共圆，
即E，H，M，K均在点C，E，H所确定的圆上，证毕．（5分）
（Ⅱ）连接EM，
由（1）得E，H，M，C，K五点共圆，（7分）∵CEHM为等腰梯形，∴EM=HC，
故∠MKE=∠CEH，
由KE=EH可得∠KME=∠ECH，
故△MKE≌△CEH，
即KM=EC=3为所求．（10分）
分析：（Ⅰ）先由AC=AH，AK=AE得四边形CHEK为等腰梯形，利用等腰梯形的对角互补可得C，H，E，K四点共圆；同理C，E，H，M四点共圆，即可得E，H，M，K均在点C，E，H所确定的圆上．
（Ⅱ）先由（1）得E，H，M，C，K五点共圆，再利用CEHM为等腰梯形得EM=HC，以及由KE=EH可得∠KME=∠ECH，推得△MKE≌△CEH，即可得线段KM的长．
点评：本题第一问考查四点共圆．证明四点共圆的常用方法有：对角互补；外角等于内对角；证明四点在某三点确定的圆上等等．本题用的是方法三．