Question

11．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{3（1+{a}_{n+1}）}{1-{a}_{n}}$=$\frac{2（1+{a}_{n}）}{1-{a}_{n+1}}$，a_na_n+1＜0，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由$\frac{3（1+{a}_{n+1}）}{1-{a}_{n}}$=$\frac{2（1+{a}_{n}）}{1-{a}_{n+1}}$，可得$\frac{1-{a}_{n+1}^{2}}{1-{a}_{n}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，利用等比数列的通项公式可得：${a}_{n}^{2}$=1-$\frac{1}{2}×（\frac{2}{3}）^{n-2}$，利用a_na_n+1＜0，${a}_{1}=\frac{1}{2}$，即可得出．

解答 解：∵$\frac{3（1+{a}_{n+1}）}{1-{a}_{n}}$=$\frac{2（1+{a}_{n}）}{1-{a}_{n+1}}$，
∴$\frac{1-{a}_{n+1}^{2}}{1-{a}_{n}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
∴数列$\{1-{a}_{n}^{2}\}$是等比数列，首项为$\frac{3}{4}$，公比为$\frac{2}{3}$．
∴$1-{a}_{n}^{2}$=$\frac{3}{4}×（\frac{2}{3}）^{n-1}$=$\frac{1}{2}×（\frac{2}{3}）^{n-2}$．
∴${a}_{n}^{2}$=1-$\frac{1}{2}×（\frac{2}{3}）^{n-2}$，
∵a_na_n+1＜0，${a}_{1}=\frac{1}{2}$，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-\frac{1}{2}（\frac{2}{3}）^{n-2}}，n=2k-1}\\{-\sqrt{1-\frac{1}{2}（\frac{2}{3}）^{n-2}}，n=2k}\end{array}\right.$，k∈N^*．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．