Question

选修4-4；坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线L的参数方程为

x=3- 2 2 t y= 2 2 t

（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2

5

sinθ．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线L交于点A，B，若点P的坐标为（3，

5

），求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求圆C的极坐标方程为ρ=2

5

sinθ，可得 x²+y²=2

5

y，化简可得结果．
（Ⅱ）把直线L的参数方程代入圆的方程化简，求得判别式△=2＞0，可得 t₁+t₂=3

2

，t₁•t₂=4．再由直线l经过点P（3，

5

），结合t的几何意义可得，|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=t₁+t₂ 的值．

解答：解：（Ⅰ）求圆C的极坐标方程为ρ=2

5

sinθ，可得 ρ²=2

5

ρsinθ，
故有 x²+y²=2

5

y，即 x²+y²-2

5

y=0，即 x²+(y-

5

)2=5．
（Ⅱ）把直线L的参数方程

x=3- 2 2 t y= 2 2 t

（t为参数），代入圆的方程化简可得
t²-3

2

t+4=0，求得判别式△=2＞0，设t₁、t₂是方程的两个根，
可得 t₁+t₂=3

2

，t₁•t₂=4．
再由直线l经过点P（3，

5

），结合t的几何意义可得|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=t₁+t₂=3

2

．

点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，参数的几何意义，属于基础题．